Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный
Вопрос посетителя
Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный
Ответ эксперта
ΔАВС, О — центр описанной окружности, О является АС.
Доказать: ΔАВС — прямоугольный.
Доведения:
Пусть ∟C = х. Рассмотрим ΔСОВ — равнобедренный (ОС = ОВ — радиусы).
По свойству углов равнобедренного треугольника имеем: ∟C = ∟OBC = х.
По теореме о сумме углов треугольника имеем:
∟BOC = 180 ° — (х + х) = 180 ° — 2х. ∟AOB i ∟BOC — смежные.
По теореме о смежных углы имеем:
∟AOB = 180 ° — (180 ° — 2х) = 180 ° — 180 ° + 2х = 2х.
Рассмотрим ΔАОВ — равнобедренный (АО = ОВ — радиусы).
∟OAB = ∟OBA = (180 ° — 2х): 2 = 90 ° — х.
По аксиомой измерения углов имеем:
∟ABC = ∟ABO + ∟OBC, ∟ABC = (90 ° — х) + х = 90 °.
То есть ∟ABC = 90 °, тогда ΔАВС — прямоугольный.
Доказано.
