Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким
Вопрос посетителя
Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным?
Ответ эксперта
Решение.
Мысленно проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник.
Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
r = S / p, где
S — площадь треугольника
p — его полупериметр
Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты, умноженной на основание. Но, поскольку, основание — удвоенный радиус конуса, то
S = RH
Полупериметр равен
p = 1/2 ( 2R + 2m)
m — длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника
R — радиус окружности, составляющей основание конуса
m найдем по теореме Пифагора как m = √( H2 + R2 ), откуда
p = 1/2 ( 2R + 2√( H2 + R2 ) ) = R + √( H2 + R2 )
