Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят его на три равные части.
Вопрос посетителя
Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят его на три равные части.
Ответ эксперта
Пусть CH и CM – высота и медиана прямоугольного треугольника ABC, проведённые из вершины прямого угла C, ∠A = 30°. Каждый из углов HCB и HAC в сумме с углом ACH составляют 90°, поэтому ∠HCB = ∠HAC = ∠A = 30°.
С другой стороны, в равнобедренном треугольнике AMC углы при основании AC равны, поэтому ∠ACM = ∠CAM = ∠A = 30°.
Значит, ∠HCM = ∠ACB – ∠HCB – ∠ACM = 30°.
Следовательно, ∠BCH = ∠HCM = ∠MCA.
