Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг
Вопрос посетителя
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн рублей
Ответ эксперта
Пусть сумма кредита в начале первого года составляла целое число — a млн рублей. Ежегодно вклад увеличивается в 1,2 раза. В конце
1-го, 2-го и 3-го годов выплатили только проценты: 1,2a – a = 0,2a. В конце
4-го и 5-го годов были одинаковые выплаты — по x млн рублей. Закончим заполнение таблицы.
Год Долг в начале года Долг в середине года Выплата в конце года
1 a 1,2a 0,2a
2 a 1,2a 0,2a
3 a 1,2a 0,2a
4 a 1,2a x
5 1,2a – x 1,2(1,2a – x) x
Расчёт по кредиту завершён в конце пятого года, составим уравнение:
1,2(1,2a – x) = x,
единственный корень которого равен x= 7,2a/11.
Чтобы общая сумма выплат заёмщика превысила 10 млн. рублей, должно выполняться неравенство:
0,6a + 2x> 10,
0,3a + x> 5.
Подставив 7,2a/11 вместо x в неравенство (1), получим:
0,3a+ 7,2a/11> 5,
21a> 110.
Число a целое, для a = 5 неравенство (2) неверно, так как 105<110, а для a = 6 — верно, так как 126>110, следовательно, наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн. рублей, составляет 6 млн рублей.
Ответ. 6 000 000 рублей.
