Высоты AM i CK треугольника ABC пересекаются в точке О, ОК = ОМ, ∟BAM = ∟ACK. Докажите, что треугольник ABC равносторонний
Вопрос посетителя
Высоты AM i CK треугольника ABC пересекаются в точке О, ОК = ОМ, ∟BAM = ∟ACK. Докажите, что треугольник ABC равносторонний
Ответ эксперта
Пусть дано ΔАВС, AM i CK — высоты, т. О — точка пересечения высот. ОК = ОМ, ∟ВАМ = ∟ACK.
Докажем, что ΔАВС — равносторонний.
Пусть ∟ВАМ = ∟АСК = х.
Рассмотрим ΔАВМ (∟М = 90 °). ∟В = 90 ° — х.
Рассмотрим ΔКВС (∟К = 90 °). ∟В = 90 ° — х, ∟ВСК = х.
Рассмотрим ΔКОА i ΔМОС.
1) ∟OКА = ∟ОМС = 90 ° (АМ i CK — высоты).
2) КО = ОМ (по условию).
3) ∟КAO = ∟MCO = х.
Итак, ΔКОА = ΔМОС за катетом i острым углом, из этого следует,
что АО = ОС. Тогда ΔАОС — равнобедренный i ∟ОАС = ∟ОСА = х.
Рассмотрим ΔАВС.
∟В = 90 ° — х, ∟А = х + х = 2х, ∟С = х + х = 2х.
Поскольку ∟А + ∟В + ∟С = 180 °, то 90 — х + 2х + 2х = 180;
90 + 3х = 180; 3х = 90; х = 30
∟В = 90 ° — 30 ° = 60 °, ∟А = 30 ° + 30 ° = 60 °,
∟С = 30 ° + 30 ° = 60 °.
Если в ΔАВС ∟А = ∟В = ∟С = 60 °, то этот треугольник — равносторонний.
