В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через
Вопрос посетителя
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10
Ответ эксперта
Продлим стороны AB и CD до пересечения друг с другом.
Рассмотрим треугольник AED.
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠EDA+∠DAE+∠AED
180°=90°+∠AED
∠AED=90°
Следовательно треугольник AED — прямоугольный.
Рассмотрим треугольники AED и BEC.
∠AED — общий
∠EBC=∠EAD (т.к. это соответственные углы)
Треугольники AED и BEC подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда по определению подобия:
AD/BC=AE/BE
AD/BC=(AB+BE)/BE
34/9=(10+BE)/BE
34BE/9=10+BE
25BE/9=10
BE=90/25=3,6
Точка F — точка касания прямой CD и окружности.
По теореме о касательной и секущей:
EF2=BE*AE=BE*(AB+BE)=3,6(10+3,6)=48,96
EF=√48,96
Рассмотрим треугольник EOK.
О — центр окружности
OB — радиус окружности
OK — серединный перпендикуляр к хорде AB ( третье свойство хорды)
OK=EF (т.к. KEFO — прямоугольник)
KB=AB/2 (т.к. OK — серединный перпендикуляр)
По теореме Пифагора:
OB2=OK2+KB2
OB^2=(√48,96 )^2+(10/2)^2
OB^2=48,96+25=73,96
OB=8,6
Ответ: R=8,6
