У трикутник з кутами 30°, 70° i 80° вписано коло. Знайдіть кути трикутника, вершини якого є точками дотику вписаного кола до сторін даного трикутника
Вопрос пользователя
У трикутник з кутами 30°, 70° i 80° вписано коло. Знайдіть кути трикутника, вершини якого є точками дотику вписаного кола до сторін даного трикутника
Ответ эксперта
Дано:
Коло вписане у ∆АВС. ∟A = 30°, ∟B = 70°, ZC = 80°. N, Е, Р — точки дотику.
Знайти: кути AN РЕ.
Розв’язання:
Центр кола, вписаного у трикутник, знаходиться у точці перетину бісектрис.
Отже, АО — бісектриса ∟BAC, тоді ∟NAO = ∟PAO = ∟BAC : 2 = 30° : 2 = 15°.
Аналогічно ОВ — бісектриса ∟NBE, тоді ∟NBO = ∟OBE = ∟ABC : 2 = 70° : 2 = 35°
i ОС — бісектриса ∟ECP, тоді ∟PCO = ∟ECO = ∟PCE : 2 = 80° : 2 = 40°.
За умовою О — центр вписаного кола, тоді за властивістю дотичних до кола,
маємо: ON ┴ АВ, ОЕ ┴ ВС, ОР ┴ АС.
ON — ОЕ = ОР — радіуси вписаного кола.
Розглянемо ∆ANO i ∆APO — прямокутні ∟ANO = ∟APO = 90°, ON = OP,
АО — спільна сторона. Тоді за ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо:
∆ANO = ∆АРО.
Звідси ∟NOA = ∟POA = 90° — 15° = 75°; ∟NOP = ∟NOA + ∟POA = 75° + 75° = 150°.
Розглянемо ∆NOP — рівнобедрений (NO = ОР).
За властивістю кутів piвнобедреного трикутника маємо:
∟ONP = ∟OPN = (180° — 150°) : 2 = 15°.
Аналогічно ∟NOE = 110°, ∟EOP = 100°.
∟ENO = ∟OEN = (180° — 110°) : 2 = 35°.
∟ENO = ∟OEN = (180° — 110°) : 2 = 35°.
∟OEP = ∟OPE = (180° — 100°) : 2 = 40°.
∟ENP = ∟PNO + ∟ONE, ∟ENP = 15° + 35° = 50°.
∟NPE = ∟NPO + ∟OPE, ∟NPE = 15° + 40° = 55°.
∟NEP = ∟NEO + ∟OEP, ∟NEO = 35° + 40° = 75°.
Biдповідь: 50°, 55°, 75°.
