У колі проведено діаметр АВ i хорди АС та BD такі, що АС ‖ BD. Доведіть, що відрізок CD — діаметр кола
Вопрос пользователя
У колі проведено діаметр АВ i хорди АС та BD такі, що АС ‖ BD. Доведіть, що відрізок CD — діаметр кола
Ответ эксперта
Дано: коло з центром в точці О; АС, BD — хорди; AC ‖ BD; АВ — діаметр.
Довести: CD — діаметр.
Доведення:
Виконаємо додаткову побудову: хорди AD i ВС.
Розглянемо ∆АВС. Якщо О є АВ, тоді ∆BAC — прямокутний (∟ACB = 90°).
Аналогічно ∆ADB — прямокутний (∟ADB = 90°). Нехай ∟ACD = х.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∟АСВ = ∟ACD + ∟DCB; ∟DCB = 90° — х.
За умовою AC ‖ BD; CD — січна.
За ознакою паралельності прямих маємо:
∟ACD = ∟CDB = х (внутрішні разносторонні).
Розглянемо ∆DBC.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∟DCB + ∟CBD + ∟BDC = 180°.
∟CBD = 180° — (∟DCB + ∟BDC); ∟CBD = 180° — (x + 90° — x) = 90°.
Отже, ∆DBC — прямокутний (∟DBC = 90°).
Отже, О є DC. Якщо О є АВ; О є DC, де О — центр кола,
тоді АВ ∩ DC = 0, тобто DC — діаметр.
Доведено.
