Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3√2, √14 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB
Вопрос пользователя
Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3√2, √14 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если /KAC>90
Ответ эксперта
По условию задачи /KAC>90°, т.е. это наибольший угол в треугольнике AKC следовательно, сторона KC, противолежащая этому углу тоже наибольшая (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника). Сторона AC равная 3√2 — наибольшая сторона исходного треугольника ABC (т.к. 3√2>√14>1). Следовательно, угол ABC — наибольший угол треугольника ABC.
По условию задачи треугольник KAC подобен исходному треугольнику ABC. А значит углы этих треугольников соответственно равны (по определению подобных треугольников). Поэтому наибольшие углы двух рассматриваемых треугольников равны, т.е. /KAC=/ABC. /ACK не равен /ACB ( т.к. KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B), поэтому /ACK = /BAC. Следовательно, /AKC=/ACB => cos(/AKC)=cos(/ACB).
Применяя теорему косинусов мы можем записать AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC*cos(/ACB).
(√14)^2=(3√2)^2+1^2-2*3√2*1*cos(/ACB);
14=9*2+1-6*√2*cos(/ACB);
14-19=-6*√2*cos(/ACB);
5=6*√2*cos(/ACB);
cos(/AKC)=cos(/ACB)=5/(6*√2)
Ответ: cos(/AKC)=5/(6*√2)
