Сколько разных пар непересекающихся подмножеств имеет множество, состоящее из 2012 элементов?

Вопрос от пользователя

Сколько разных пар непересекающихся подмножеств имеет множество, состоящее из 2012 элементов?

Ответ от эксперта

Найдем количество различных пар непересекающихся подмножеств при условии, что в паре выделены первое и второе подмножества. Для каждого из 2012 элементов есть 3 возможности: его можно включить в первое подмножество, или включить во второе подмножество, или не включать ни в одно из них. Поэтому количество указанных пар равно 3²⁰¹². Среди них есть одна пара, в которой оба подмножества пусты. Оставшиеся 3²⁰¹²-1 пары, в свою очередь, разбиваются на двойки совпадающих пар, если разрешить переставлять в парах местами первое и второе подмножества. Таким образом, существует (3²⁰¹²-1)/2 (неупорядоченных) пар непересекающихся подмножеств, из которых хотя бы одно не пусто.

Всего же (3²⁰¹²-1)/2+1=(3²⁰¹²+1)/2 различных пар подмножеств, удовлетворяющих условию задачи.

ответ. (3²⁰¹²+1)/2.

Скачать ответРаспечатать решение