Пряма перетинає сторони АВ i ВС трикутника ABC відповідно в точках М i K, якi є серединами цих cxopін. Доведіть, що вершини даного трикутника рівновіддалені від прямої MK
Вопрос пользователя
Пряма перетинає сторони АВ i ВС трикутника ABC відповідно в точках М i K, якi є серединами цих cxopін. Доведіть, що вершини даного трикутника рівновіддалені від прямої MK
Ответ эксперта
Дано:
∆АВС. М — середина АВ. К — середина ВС.
АР ┴ МК; BE ┴ МК; CF ┴ МК.
Довести: АР = BE = CF.
Доведения:
За умовою К — середина ВС, тоді ВК = КC.
Аналогічно М — середина АВ, тоді AM = MB.
Розглянемо ∆ВЕК i ∆CFK.
За умовою ВЕ ┴ МК; ∟BЕК = 90°.
Аналогічно CF ┴ MK; ∟CFK = 90°.
1) ∟ВЕК = ∟CFK = 90°;
2) ∟ВКЕ = ∟CKF (вертикальні);
3) ВК = КС.
За I ознакою piвностi трикутників маємо: ∆ВЕК = ∆CFK.
Звідси BE = CF.
Розглянемо ∆АРМ i ∆ВЕМ:
∟АРМ = ∟ВЕМ = 90°; AM = MP; ∟AMP = ∟ВМЕ (вертикальні).
За I ознакою piвностi трикутників маємо: ∆АРМ = ∆ВЕМ.
Звідси BE = АР.
Отже АР = BE = CF.
Тому вершина трикутника рівновіддалена від прямої МК.
Доведено.
