Окружность, вписанная в треугольник ABC, касаясь его сторон АВ, ВС i АС в точках К, М и Е соответственно, АК = ВМ = СЕ. Докажите, что треугольник ABC равносторонний
Вопрос пользователя
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касаясь его сторон АВ, ВС i АС в точках К, М и Е соответственно, АК = ВМ = СЕ. Докажите, что треугольник ABC равносторонний
Ответ эксперта
Дано: ΔАВС. О — центр окружности, вписанной в ΔАВС.
К, Е, М — точки соприкосновения. К является АВ; М является ВС; Е является АС.
АК = ВМ = СЕ.
Доказать: ΔАВС — равносторонний.
Доказательство:
По свойству касательных, проведенных к окружности с одной точки имеем:
АК = АЕ; СЕ = СМ; ВМ = ВК.
Итак, АК = KB = ВМ = МС = СЕ = АЕ.
Отсюда имеем: АК + KB = ВМ + МС = СЕ + АС. АВ = ВС = АС,
т.е. ΔАВС — piвносторонний.
Доказано.
