На листе клетчатой бумаги с клетками размером 1х1 нарисована окружность радиуса R с центром в узле сетки. Докажите, что если на ней лежит
Вопрос от пользователя
На листе клетчатой бумаги с клетками размером 1х1 нарисована окружность радиуса R с центром в узле сетки. Докажите, что если на ней лежит ровно 2012 узлов сетки, то либо R, либо R √2 – целое число
Ответ от эксперта
Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в центре окружности и с осями, идущими по линиям сетки. Тогда окружность задается уравнением x2+y2=R2, а узлы сетки – точки с целыми координатами. Заметим, что вместе с точкой (x, y) на данной окружности лежат все точки (±x, ±y) и (±y, ±x). Их восемь, если x≠±y и ни одно из чисел x, y не равно 0 (в противном случае точек 4). Так как число 2012 при делении на 8 дает остаток 4, то среди данных 2012 точек найдется такая точка (x0, y0), для которой реализуется именно второй случай. При этом, если x0=±y0, то 2x02=R2 и R √2 – целое число, а если x0=0 или y0=0, то y02=R2 или x02=R2 соответственно, поэтому R –целое число.
