Натуральные числа a и b взаимно просты. Докажите, что наибольший общий делитель чисел a+b и a^2+b^2 равен 1 или 2.
Вопрос от пользователя
Натуральные числа a и b взаимно просты. Докажите, что наибольший общий делитель чисел a+b и a^2+b^2 равен 1 или 2.
Ответ от эксперта
Если a+b и a2+b2 делятся на d, то и (a+b)2-(a2+b2)=2ab делится на d. Значит 2a2=2a(a+b)-2ab и 2b2=2b(a+b)-2ab делятся на d. Но если a и b взаимно просты, то a2 и b2 также взаимно просты, поэтому 2a2 и 2b2 не могут одновременно делиться на d>2.
