Местный музей посещают студенты и пенсионеры. Спрос студентов на услуги описывается уравнением P= 60-q1/20, спрос пенсионеров P= 50-q2/20.
Вопрос посетителя
Местный музей посещают студенты и пенсионеры. Спрос студентов на услуги описывается уравнением P= 60-q1/20, спрос пенсионеров P= 50-q2/20.
Одновременно в музее могут находиться 200 человек. Какую стоимость билетов для студентов и пенсионеров необходимо назначить музею, чтобы обеспечить полную посещаемость и получить максимальную прибыль?
Ответ эксперта
Решение.
Сначала найдем цену билетов, при которой доход от посещений студентов будет максимальным.
Если функцию спроса для студентов P = 60-q1/20 мы знаем, то объем продаж билетов будет равен
V = ( 60-q1/20 ) q1
Пояснение. Функция спроса показывает количество билетов, которые могут быть проданы при данной цене. Нас же в данном случае интересует сумма продаж. Для того, чтобы определить сумму, нам необходимо найденное количество умножить на цену товара. То есть Сумма = Количество х Цена. Поэтому функция, показывающая объем продаж, должна иметь вид f(x) = q(p) * p , где p — цена предложения.
Для того, чтобы определить максимально возможный объем продаж билетов для студентов в музей, необходимо найти экстремум функции V = ( 60-q1/20 ) q1, по методике, о которой нам хорошо известно из курса средней школы. Для этого найдем дифференциал функции
f(x) = ( 60-х/20 ) х , или
f(x) = 60x — 0,05×2
По таблице производных легко находим результат:
f(x)’ = 60 — 0,1x
Экстремум исходной функции будет в точке, в которой f(x) = 60 — 0,1x будет равна нулю. Поэтому, решаем элементарное уравнение
60 — 0,1x = 0
х = 600
Аналогичные вычисления по поиску максимального объема продаж для пенсионеров приведут нас нахождению цены на билеты
х = 500
Откуда можно определить посещаемость музея.
При цене в 600 гривен музей посетят
P = 60-q1/20
P = 60 — 600 / 20 = 30 студентов
При цене билета в 500 гривен музей посетят
P = 50-q2/20
P = 60 — 500 / 20 = 25 пенсионеров
Таким образом, максимальная выручка составит 30 * 600 + 25 * 500 = 30 500 гривен
