Медианы АЕ i CF, проведенные к боковым сторонам ВС i AB равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Докажите, что треугольник АМС равнобедренный
Вопрос посетителя
Медианы АЕ i CF, проведенные к боковым сторонам ВС i AB равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Докажите, что треугольник АМС равнобедренный
Ответ эксперта
Пусть дано ΔАВС — равнобедренный (АВ = ВС), АЕ — медиана,
CF — медиана, АЕ i CF пересекаются в точке М.
Докажем, что ΔАМС — равнобедренный.
Рассмотрим ΔAFC i ΔСЕА.
1) ∟A = ∟C (ΔАВС — равнобедренный).
2) АС — общая.
3) AF = 1 / 2АВ, CF — медиана. СЕ = 1 / 2ВС, АЕ — медиана.
АВ = ВС (ΔАВС — равнобедренный). AF = СЕ.
Итак, ΔAFC = ΔСЕА за I признаком piвностi треугольников,
из этого следует, что ∟EAC = ∟FCA.
Рассмотрим ΔАМС.
Поскольку ∟MAC = ∟MCA, то ΔАМС — равнобедренный.
