Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 82°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах
Вопрос посетителя
Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 82°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах
Ответ эксперта
Проведем отрезок CO.
Рассмотрим треугольник ACO.
∠ACO=∠ACB/2=82°/2=41° (по второму свойству касательной).
∠CAO=90° (по первому свойству касательной)
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AOC+∠ACO+∠CAO
180°=∠AOC+41°+90°
∠AOC=49°
Рассмотрим треугольники ACO и BCO.
OC — общая сторона
AC=BC (по второму свойству касательной)
OA=OB (т.к. это радиусы)
Следовательно, по третьему признаку, данные треугольники равны.
Тогда и ∠AOC=∠BOC=49°
Рассмотрим треугольник AOB.
OA=OB (т.к. это радиусы)
Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный.
Тогда ∠BAO=∠ABO (по свойству равнобедренного треугольника).
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠AOB+∠OAB+∠ABO
180°=∠AOC+∠BOC+2∠ABO
180°=49°+49°+2∠ABO
82°=2∠ABO
∠ABO=41°
Ответ: 41
