Какие понятия и факты арифметики и геометрии понадобились Евдоксу для доказательства формулы объема пирамиды? Знал ли эти факты Пифагор?
Вопрос посетителя
Какие понятия и факты арифметики и геометрии понадобились Евдоксу для доказательства формулы объема пирамиды? Знал ли эти факты Пифагор?
Ответ эксперта
Сначала Евдокс вписал в трехгранную пирамиду многоступенчатую «лестницу» из призм убывающего размера. Далее он вычислил суммарный объем этой лестницы с помощью формулы суммы квадратов первых JV натуральных чисел. Наконец, Евдокс доказал, что при росте числа ступеней лестницы разность между ее объемом и объемом пирамиды убывает и может быть сделана сколь угодно малой.
Все эти конструкции Пифагор, несомненно, понял бы. Однако сам он был чужд идее о «предельном переходе» и о суммах бесконечного семейства слагаемых. Поэтому Пифагор, вероятно, не признал бы доказательство Евдокса строгим и допустимым в рамках геометрии. Но физик Демокрит считал его строгим рассуждением.
