Каждое натуральное число от 1 до 50000 заменяют числом равным сумме его цифр. С получившимися цифрами проделывают ту же операцию,
Вопрос посетителя
Каждое натуральное число от 1 до 50000 заменяют числом равным сумме его цифр. С получившимися цифрами проделывают ту же операцию, и так поступают до тех пор, пока все числа не станут однозначными. Сколько раз среди этих однозначных чисел встретится каждое из целых чисел от 0 до 8?
Ответ эксперта
указанные однозначные числа в последовательном порядке таковы :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 0,… .
Эта закономерность сохраняется и дальше. В самом деле, при замене натурального числа суммой его цифр остаток от деления числа на 9 остается неизменным, то есть является инвариантом данного преобразования. Поэтому при переходе от каждого натурального числа к следующему остаток от деления числа на 9 увеличивается на 1 или перескакивает от 8 к 0.
Для того чтобы узнать, сколько таких групп цифр по 9 цифр в каждой, разделим 50000 на 9 с остатком :
50000 = 9 х 5555 + 5.
Следовательно, таких групп 5555 . Еще одну, неполную группу образуют последние 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: однозначные числа 1,2,3,4,5 встречаются 5556 раз, а числа 6,7,8 – 5555 раз.
