Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вершин углов при основании, равны
Вопрос пользователя
Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вершин углов при основании, равны
Ответ эксперта
Дано:
∆АВС — рівнобедрений, АС — основа, AN — бісектриса ∟BAC, СК — бісектриса ∟ACB.
Довести: СК = AN.
Доведення:
Розглянемо ∆АКС i ∆CNA.
1) АС — спільна сторона.
2) За умовою ∆АВС — рівнобедрений,
тому ∟CAK = ∟ACN (кути при основі рівнобедреного трикутника).
3) AN — бісектриса ∟BAC. За означениям бісектриси кута трикутника
маємо ∟BAN = ∟CAN = 1/2∟BAC.
Аналогічно, СК — бісектриса ∟ACB. Тому ∟ACK = ∟KCB = 1/2∟ACB.
Тоді ∟NAC = ∟KCA.
∆АКС = ∆CNA (за II ознакою piвності трикутниюв).
Тому AN = СК (як piвні відповідні елементи рівних фігур). Доведено.
