Доведіть ознаку piвностi трикутників за медіаною та кутами, на які вона розбиває кут трикутника
Вопрос посетителя
Доведіть ознаку piвностi трикутників за медіаною та кутами, на які вона розбиває кут трикутника
Ответ эксперта
Якщо медіана i два кута, на які вона розбиває кут одного
трикутника дорівнює відповідно медіані i двом кутам, на якi
вона розбиває кут iншого трикутника, то ціi трикутники piвнi.
Доведения:
В ∆АВС на промені ВМ відкладемо MD = ВМ.
Розглянемо ∆АВМ i CDM.
1) ВМ = MD (за побудовою);
2) ∟AMB = ∟CMD (як вертикальні);
3) AM = МС (ВМ — медіана).
Отже, ∆АВМ = ∆CDM за I ознакою piвностi трикутників.
3 цього випливає, що ∆ABM = ∆CDM.
Аналогічно, у ∆B1C1D1: ∟A1B1M1 = ∟C1D1M1.
Розглянемо ∆BCD i ∆B1C1D1.
1) BD — B1D1 (за побудовою);
2) ∟MBC = ∟М1В1С1 (за умовою);
3) ∟MDC = ∟M1D1С1.
Отже, ∆BCD = ∆B1C1D1 за II ознакою piвностi трикутників.
3 цього випливає, що ВС = В1С1.
Розглянемо ∆ВМС i ∆B1M1C1.
1) ВМ = В1М1 (за умовою);
2) ВС = В1С1 (т. я. ∆BCD = ∆B1C1D1);
3) ∟MBC = ∟M1B1С1 (за умовою).
Отже, ∟ВМС = ∟B1М1C1 за I ознакою piвності трикутників.
Тоді ∟BCM = ∟B1C1M1.
Розглянемо ∆АВС i ∆A1B1C1.
1) ВС = В1С1 (т. я. ∆BCD = ∆B1C1D1);
2) ∟ВСА = ∟В1С1А1 (т. я. ∆ВМС = ∆В1М1С1),
1) ∟B = ∟B1 (як кут, що складається з piвних кутів).
Тоді ∆АВС = ∆A1B1C1 за II ознакою piвностi трикутників.
