В экскурсии приняли участие студенты технического университета. Все они были со значками, или с листовками. Юношей было 16, а со значками всего — 24 человека. Девушек с листовками
Вопрос посетителя
В экскурсии приняли участие студенты технического университета. Все они были со значками, или с листовками. Юношей было 16, а со значками всего — 24 человека. Девушек с листовками было столько же, сколько и юношей со значками, девушек с листовками и значками было — 5. Сколько всего было студентов?
Ответ эксперта
решение
Введем обозначения для следующих множеств.
U — юноши
D — девушки
L — студенты с листовками
Z — студенты со значками
Пересечение множеств X и Y будем записывать XY. Будем использовать принцип включений-исключений: |X ∪ Y| = |X| + |Y| — |XY|.
Запишем условия и некоторые замечания.
(1) |U| = 16
(2) |Z| = 24
(3) |DL| = |UZ|
(4) |DLZ| = 5
(5) DU = ∅
(6) D ∪ U = L ∪ Z есть множество всех студентов.
U =(6) U(L ∪ Z) = LU ∪ UZ => |U| = |LU| + |UZ| — |LUZ| (7)
Для любого X, |X| =(6) |X(U ∪ D)| = |XU ∪ XD| =(5) |XU| + |XD| (8)
|L ∪ Z| = |L| + |Z| — |LZ| =(8) |LU| + |DL| + |UZ| + |DZ| — |LUZ| — |DLZ| =(7)
= |U| + |DL| + |DZ| — |DLZ| =(1,3,4) 16 + |UZ| + |DZ| — 5 =(8) 11 + |Z| =(2) 11 + 24 = 35.
