В кругу проведения диаметр АВ i хорды АС и BD такие, что АС ‖ BD. Докажите, что отрезок CD — диаметр круга
Вопрос пользователя
В кругу проведения диаметр АВ i хорды АС и BD такие, что АС ‖ BD. Докажите, что отрезок CD — диаметр круга
Ответ эксперта
Дано: окружность с центром в точке О; АС, BD — хорды; AC ‖ BD; АВ — диаметр.
Доказать: CD — диаметр.
Доказательство:
Выполним дополнительную построение: хорды AD i ВС.
Рассмотрим ΔАВС. Если О является АВ, тогда ΔBAC — прямоугольный (∟ACB = 90 °).
Аналогично ΔADB — прямоугольный (∟ADB = 90 °). Пусть ∟ACD = х.
По аксиомой измерения углов имеем: ∟АСВ = ∟ACD + ∟DCB; ∟DCB = 90 ° — х.
По условию AC ‖ BD; CD — секущая.
По признаку параллельности прямых имеем:
∟ACD = ∟CDB = х (внутренние разносторонний).
Рассмотрим ΔDBC.
По теореме о сумме углов треугольника имеем: ∟DCB + ∟CBD + ∟BDC = 180 °.
∟CBD = 180 ° — (∟DCB + ∟BDC) ∟CBD = 180 ° — (x + 90 ° — x) = 90 °.
Итак, ΔDBC — прямоугольный (∟DBC = 90 °).
Итак, В является DC. Если О является АВ; В является DC, где О — центр окружности,
тогда АВ ∩ DC = 0, то есть DC — диаметр.
Доказано.
