Відрізок AB — діаметр кола, М — довільна точка кола, відмінна від точок A i В. Доведіть, що ∟AMB = 90°
Вопрос пользователя
Відрізок AB — діаметр кола, М — довільна точка кола, відмінна від точок A i В. Доведіть, що ∟AMB = 90°
Ответ эксперта
Дано:
Коло з центом О. М належить колу. АВ — діаметр.
Довести: ∟AMB = 90°.
Доведения:
Виконаємо додаткову побудову — радіус ОМ.
∆АОМ — рівнобедрений (АО = ОМ — радіуси).
За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо ∟OAM = ∟ОМА.
Нехай ∟ОАМ = х, тоді ∟OMA = х.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо
∟АОМ = 180° — (х + х) = 180° — 2х. ∟АОМ i ∟MOB — суміжні.
За теоремою про суміжні кути маємо:
∟MOB = 180° — (180° — 2х) = 180° — 180° + 2х = 2х.
Розглянемо &МОВ — рівнобедрений (ОМ = ОВ — радіуси).
∟ОВМ = ∟ОМВ = (180° — 2х) : 2 = 90° — х.
За аксіомою вимірювання кутів маємо:
∟АМО + ∟ОМВ = ∟АМВ; ∟АМВ = х + 90° — х = 90°.
Доведено.
