Высоты AM i CK треугольника ABC пересекаются в точке Н, НК = НМ. Докажите, что треугольник ABC piвнобедрений
Вопрос от пользователя
Высоты AM i CK треугольника ABC пересекаются в точке Н, НК = НМ. Докажите, что треугольник ABC piвнобедрений
Ответ от эксперта
∆АВС. СК — висота (СК ┴ АВ). AM — висота (AM ┴ ВС).
AM ∩ СК = Н. КН = НМ.
Довести: ∆АВС — рівнобедрений.
Доведения:
За умовою AM — висота (AM ┴ ВС); ∟АМС = 90°.
Аналогічно СК — висота, ∟AKC = 90°.
Розглянемо ∆АНК i ∆CHM:
1) ∟AKH = ∟СМИ = 90°;
2) ∟АНК = ∟СНМ (вертикальні);
3) КН = НМ.
За ознакою piвності прямокутних трикутників маємо: ∆АНК = ∆СНМ.
Звідси ∟КАН = ∟МСН. АН = НС.
Розглянемо ∆АНС — рівнобедрений.
За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∟HAC = ∟НСА.
За аксіомою вимірювання кутів маемо:
∟ВАС = ∟ВАМ + ∟MAC; ∟ВСА = ∟ВСК + ∟КСА.
Звідси ∟ВАС = ∟ВСА. Отже ∆АВС — рівнобедрений.
