Бісектриси AD i СЕ трикутника ABC перетинаються в точці О1, бісектриси EF i DK трикутника DEB перетинаються в точці О2. Доведіть, що точки В, О1 i О2 лежать на одній прямій
Вопрос пользователя
Бісектриси AD i СЕ трикутника ABC перетинаються в точці О1, бісектриси EF i DK трикутника DEB перетинаються в точці О2. Доведіть, що точки В, О1 i О2 лежать на одній прямій
Ответ эксперта
Дано: ∆АВС. AD i СЕ — бісектриси ∆АВС.
AD ∩ CE = О1, EF i DK — бісектриси ∆KBF.
EF ∩ DK = О2.
Довести: В, О1, О2 належать одній прямій.
Доведення:
За умовою AD i СЕ — бісектриси кутів ∆АВС.
AD ∩ CE = О1, тобто О1 — є центром кола вписаного у ∆АВС;
ВМ — проходить через т. О1, ВМ є бісектрисою ∆АВС.
За умовою DK i EF — бісектриси кутів ∆DBE.
EF ∩ DK = О2, тобто О2 — є центром кола, вписаного у ∆EBD;
ВМ — бісектриса ∟ABC (∟ABC = ∟EBD).
Отже, ВМ проходить через т. О2.
Звідси маемо: В є ВМ, О1 є ВМ, О2 є ВМ.
Точки В, О1, О2 належать одній прямій.
Доведено.
